a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac = 1\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 1\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2m\,\,\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \frac\,\,\left( C \right)\) là: \(\frac = x + 2m\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m} \right) = x - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m + 3 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) khác \( - 1\) và \({x_1}{x_2} < 0\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array}\\{\frac{c}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 - 2m + 2m + 3 \ne 0\\2m + 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 3\end{array} \right.\\m <  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

Vì \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2\,024;\,2\,024} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2\,024;\, - 2\,023;\,...; - 2} \right\}\).

Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.