Để phân tích các đa thức thành nhân tử, chúng ta sẽ xét từng đa thức.

### 1. Đa thức: \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)

Ta nhận thấy rằng đa thức này có dạng giống như công thức khai triển của một hiệu số lập phương. Cụ thể, ta có:

\[
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3
\]

### 2. Đa thức: \( x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{16}x - \frac{1}{64} \)

Ta sử dụng phương pháp tìm nghiệm hoặc kiểm tra nếu nó có thể phân tích được thành nhân tử. Thử nghiệm với \( x = \frac{1}{4} \):

\[
\left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{3}{16}\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{64} = 0
\]

Vậy \( x = \frac{1}{4} \) là một nghiệm. Chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức để tìm các nhân tử còn lại:

Chia \( x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{16}x - \frac{1}{64} \) cho \( x - \frac{1}{4} \):

Sau khi thực hiện phép chia, chúng ta sẽ có:

\[
x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{16}x - \frac{1}{64} = \left( x - \frac{1}{4} \right) \left( x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \right)
\]

Tiếp tục phân tích \( x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \):

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Rightarrow x = \frac{\frac{1}{2} \pm 0}{2} = \frac{1}{4}
\]

Vậy \( x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 \).

Cuối cùng:

\[
x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{16}x - \frac{1}{64} = \left( x - \frac{1}{4} \right)^3
\]

### 3. Đa thức: \( 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \)

Chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại hoặc nhận diện để sử dụng công thức đa thức lập phương:

\[
8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x + y)^3
\]

Tóm lại kết quả phân tích:

1. \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3 \)
2. \( x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{16}x - \frac{1}{64} = \left(x - \frac{1}{4}\right)^3 \)
3. \( 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x + y)^3 \)