Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi giá trị tham số m

Để chứng minh rằng hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx - y = 2 \\
3x + my = 5
\end{cases}
\]

có nghiệm duy nhất với mọi giá trị tham số \( m \), ta có thể sử dụng định lý về nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính.

### Bước 1: Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận

Hệ phương trình có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:

\[
\begin{pmatrix}
m & -1 \\
3 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
5
\end{pmatrix}
\]

### Bước 2: Tính định thức của ma trận hệ số

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác không.

Tính định thức \( D \):

\[
D = \begin{vmatrix}
m & -1 \\
3 & m
\end{vmatrix}
= m \cdot m - (-1) \cdot 3 = m^2 + 3
\]

### Bước 3: Xét điều kiện để \( D \neq 0 \)

Ta thấy:

\[
D = m^2 + 3
\]

Vì \( m^2 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của \( m \), nên \( D \) luôn lớn hơn 3. Do đó, \( D \) không bao giờ bằng 0.

### Kết luận

Do \( D \) khác không với mọi giá trị của \( m \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi giá trị tham số \( m \).

### Bước 4: Tìm nghiệm duy nhất \( (x, y) \)

Ta sẽ tiếp tục để tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Giải từ phương trình thứ nhất:

\[
y = mx - 2
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
3x + m(mx - 2) = 5
\]

\[
3x + m^2x - 2m = 5
\]

\[
(m^2 + 3)x = 5 + 2m
\]

Giải ra \( x \):

\[
x = \frac{5 + 2m}{m^2 + 3}
\]

Từ đó, ta tìm \( y \) bằng cách thay giá trị \( x \) vào phương trình \( y = mx - 2 \):

\[
y = m\left(\frac{5 + 2m}{m^2 + 3}\right) - 2
\]

### Bước 5: Điều kiện cho \( x > 0 \) và \( y < 0 \)

1. **Điều kiện \( x > 0 \)**:

\[
\frac{5 + 2m}{m^2 + 3} > 0
\]

Điều này xảy ra khi \( 5 + 2m > 0 \):

\[
m > -\frac{5}{2}
\]

2. **Điều kiện \( y < 0 \)**:

\[
m\left(\frac{5 + 2m}{m^2 + 3}\right) - 2 < 0
\]

Giải bất phương trình này sẽ cho ra các giá trị cụ thể cho \( m \).

**Tóm lại**, bạn sẽ có các giá trị của \( m \) sao cho \( x > 0 \) và \( y < 0 \) bằng cách giải bất phương trình trên.