Để giải bài toán này, ta cần xem xét biểu thức \( (1 - \frac{3}{k(k+2)}) \) cho \( k = 2, 3, \ldots, n \), và tìm điều kiện để

\[
(1 - \frac{3}{k(k+2)}) > \frac{1}{4} \quad \text{với mỗi } k.
\]

Ta sẽ bắt đầu với bất đẳng thức:

\[
1 - \frac{3}{k(k+2)} > \frac{1}{4}
\]

Chuyển vế ta có:

\[
-\frac{3}{k(k+2)} > \frac{1}{4} - 1
\]

Vì \( \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \), ta có:

\[
-\frac{3}{k(k+2)} > -\frac{3}{4}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
\frac{3}{k(k+2)} < \frac{3}{4}
\]

Từ đó, ta nhân chéo:

\[
4 \cdot 3 < 3 \cdot k(k+2)
\]

Hay:

\[
12 < 3k^2 + 6k.
\]

Chia cả hai vế cho 3:

\[
4 < k^2 + 2k.
\]

Nghĩa là:

\[
k^2 + 2k - 4 > 0.
\]

Giải phương trình bậc hai \( k^2 + 2k - 4 = 0 \):

\[
k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4 \cdot 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}.
\]

Với \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), có hai nghiệm:

\[
k_1 = -1 + \sqrt{5} \approx 1.236 \quad \text{và} \quad k_2 = -1 - \sqrt{5} \approx -3.236.
\]

Vì \( k \) phải là số tự nhiên \( k \geq 2 \), ta kiểm tra từ \( k = 2 \) trở đi:

- Với \( k = 2 \):

\[
k^2 + 2k - 4 = 2^2 + 2 \cdot 2 - 4 = 4 + 4 - 4 = 4 > 0.
\]

- Với \( k = 3 \):

\[
k^2 + 2k - 4 = 3^2 + 2 \cdot 3 - 4 = 9 + 6 - 4 = 11 > 0.
\]

- Với \( k = 4 \):

\[
k^2 + 2k - 4 = 4^2 + 2 \cdot 4 - 4 = 16 + 8 - 4 = 20 > 0.
\]

Ta thấy rằng \( k^2 + 2k - 4 > 0 \) cho tất cả các giá trị \( k \geq 2 \).

Vậy điều kiện \( (1 - \frac{3}{k(k+2)}) > \frac{1}{4} \) được thỏa mãn cho mọi \( n \geq 2 \).

Kết luận là \( n \) có thể là bất kỳ số nguyên dương nào lớn hơn hoặc bằng 2:

\[
\boxed{n \geq 2}.
\]