Một người dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc, thời gian đã định. Nếu người đó đi từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn dự định 24 phút. Nếu người đó đi từ A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định 5 km/h thì sẽ đến B muộn hơn dự định 30 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km

Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng các ký hiệu sau:

- Gọi \( v \) là vận tốc dự định (đơn vị: km/h).
- Gọi \( t \) là thời gian dự định (đơn vị: giờ).
- Gọi \( d \) là quãng đường từ A đến B (đơn vị: km).

Từ đó, ta có:
\[ d = v \times t \]

1. **Tình huống 1**: Nếu người đó đi với vận tốc \( v + 5 \) km/h, họ sẽ đến B sớm hơn 24 phút, tức là 0.4 giờ. Thời gian di chuyển khi đó là \( t - 0.4 \) giờ. Vậy chúng ta có:
\[
d = (v + 5)(t - 0.4)
\]
Giải phương trình này:
\[
d = vt \quad \text{(1)}
\]
và
\[
d = (v + 5)(t - 0.4) \quad \text{(2)}
\]

2. **Tình huống 2**: Nếu người đó đi với vận tốc \( v - 5 \) km/h, họ sẽ đến B muộn hơn 30 phút, tức là 0.5 giờ. Thời gian di chuyển khi đó là \( t + 0.5 \) giờ. Vậy chúng ta có:
\[
d = (v - 5)(t + 0.5)
\]
Giải phương trình này:
\[
d = (v - 5)(t + 0.5) \quad \text{(3)}
\]

Bây giờ chúng ta có ba phương trình:
1. \( d = vt \) (1)
2. \( d = (v + 5)(t - 0.4) \) (2)
3. \( d = (v - 5)(t + 0.5) \) (3)

Từ phương trình (1) và (2):
\[
vt = (v + 5)(t - 0.4)
\]
Mở rộng phương trình (2):
\[
d = vt = vt + 5t - 0.4v - 2
\]
Rút gọn:
\[
0 = 5t - 0.4v - 2
\]
Hay tương đương:
\[
0.4v = 5t - 2 \quad \text{(4)}
\]

Từ phương trình (1) và (3):
\[
vt = (v - 5)(t + 0.5)
\]
Mở rộng phương trình (3):
\[
d = vt = vt - 5t + 0.5v - 2.5
\]
Rút gọn:
\[
0 = -5t + 0.5v - 2.5
\]
Hay tương đương:
\[
5t = 0.5v + 2.5 \quad \text{(5)}
\]

Bây giờ chúng ta có hai phương trình (4) và (5):
- Từ (4):
\[
0.4v = 5t - 2
\]
- từ (5):
\[
5t = 0.5v + 2.5
\]

Thay \( 5t = 0.5v + 2.5 \) vào (4):
\[
0.4v = (0.5v + 2.5) - 2
\]
\[
0.4v = 0.5v + 0.5
\]
Giải phương trình này, ta có:
\[
0.1v = 0.5 \quad \Rightarrow \quad v = 5 \cdot 10 = 50 \text{ km/h}
\]

Thay giá trị \( v \) vào (4):
\[
0.4 \cdot 50 = 5t - 2 \quad \Rightarrow \quad 20 = 5t - 2 \quad \Rightarrow \quad 5t = 22 \quad \Rightarrow \quad t = 4.4 \text{ giờ}
\]

Cuối cùng, quãng đường \( d \):
\[
d = vt = 50 \cdot 4.4 = 220 \text{ km}
\]

Vậy quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là **220 km**.