Tìm \( x \) nguyên để \( D \) nguyên

Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( D \) là số nguyên, ta có:

\[
D = \frac{3\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} + 1}
\]

Điều kiện để \( D \) là số nguyên là \( 2\sqrt{x} + 1 \) phải khác 0 (tức là \( \sqrt{x} \neq -\frac{1}{2} \), điều này không có ý nghĩa trong bối cảnh \( x \geq 0 \)).

Ta sẽ kiểm tra hạng tử tử số \( 3\sqrt{x} + 5 \) chia cho hạng tử mẫu số \( 2\sqrt{x} + 1 \) sao cho kết quả là số nguyên. Để \( D \in \mathbb{Z} \), cần có:

\[
3\sqrt{x} + 5 = k(2\sqrt{x} + 1) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Giải phương trình trên:

\[
3\sqrt{x} + 5 = 2k\sqrt{x} + k
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
(3 - 2k)\sqrt{x} = k - 5
\]

Ta được:

\[
\sqrt{x} = \frac{k - 5}{3 - 2k}
\]

Điều kiện để \( \sqrt{x} \) là một số không âm:

1. \( 3 - 2k \neq 0 \) (tức là \( k \neq \frac{3}{2} \))
2. \( (k - 5)(3 - 2k) \geq 0 \)

Sẽ xét từng trường hợp của \( k \) nguyên và tìm giá trị tương ứng cho \( x \) sao cho \( x \) nguyên.

### Kiểm tra giá trị của \( k \)
- Với \( k = 0 \):
\[
D = \frac{5}{1} = 5 \quad (nguyên)
\]

- Với \( k = 1 \):
\[
D = \frac{3\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} + 1} = 1 \implies 3\sqrt{x} + 5 = 2\sqrt{x} + 1 \implies \sqrt{x} = -4 \quad (\text{không có nghiệm})
\]

- Với \( k = 2 \):
\[
D = \frac{3\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} + 1} = 2 \implies 3\sqrt{x} + 5 = 4\sqrt{x} + 2 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9 \quad (\text{nguyên})
\]

- Với \( k = 3 \):
\[
D = \frac{3\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} + 1} = 3 \implies 3\sqrt{x} + 5 = 6\sqrt{x} + 3 \implies 3\sqrt{x} = 2 \implies \sqrt{x} = \frac{2}{3} \quad (x \text{ không nguyên})
\]

- Có thể thử thêm các giá trị \( k = -1, -2 \) và các giá trị khác để xem họ có cho kết quả nguyên hay không.

Cuối cùng, giá trị tìm được \( x = 9 \) cho \( D \) là nguyên.

### Kết luận
Giá trị nguyên của \( x \) để \( D \) là nguyên là \( x = 9 \).