Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: Tứ giác ABEC là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một số đặc điểm cơ bản của hình học trong tam giác vuông.

### Bước 1: Tính chất của trung tuyến

Trong tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến. Khi đó, ta có:

- \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) (định lý Pythagoras)
- \(AM = \frac{1}{2}BC\)

### Bước 2: Vị trí điểm E

Điểm E được xác định trên tia đối của tia MA sao cho \(ME = MA\). Vì vậy, \(AE = 2AM\).

### Bước 3: Tính chất vuông góc

Ta cần chứng minh rằng hai đường chéo AE và BC vuông góc với nhau.

1. **Xét tam giác ABE và ACE:**
- Tam giác ABE vuông tại A.
- Vectơ AB vuông góc với vectơ AC.

2. **Chứng minh** \(AB \perp AE\) và \(AC \perp AE\):
- Bởi vì \(E\) nằm trên tiếp tuyến bên ngoài (tia đối) của \(MA\), tức là \(AE\) vuông góc với lối đi từ A đến E.

### Kết luận

Với các tính chất và chứng minh trên, ta có:

- Hai cặp cạnh đối diện AB và CE, AC và BE đều song song.
- Tứ giác ABEC có 4 góc vuông, do đó ABEC là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác ABEC là hình chữ nhật như yêu cầu.