Để chứng minh các biểu thức đều lớn hơn 0 với mọi \( x \), chúng ta sẽ sử dụng định lý liên quan đến giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc hai.

### a) \( x^2 - 8x + 19 \)

Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng một hằng đẳng thức:

\[
x^2 - 8x + 19 = (x - 4)^2 + 3
\]

Giá trị của \( (x - 4)^2 \) là luôn không âm (tức là lớn hơn hoặc bằng 0) và cộng thêm 3, do đó:

\[
(x - 4)^2 + 3 \geq 3 > 0
\]

Vậy \( x^2 - 8x + 19 > 0 \) với mọi \( x \).

### b) \( 3x^2 - 6x + 5 \)

Đầu tiên, chúng ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này:

\[
3x^2 - 6x + 5 = 3(x^2 - 2x) + 5
\]

Tiếp theo, hoàn thiện bình phương:

\[
= 3[(x - 1)^2 - 1] + 5 = 3(x - 1)^2 - 3 + 5 = 3(x - 1)^2 + 2
\]

Tương tự, \( 3(x - 1)^2 \) là luôn không âm nên:

\[
3(x - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0
\]

Vậy \( 3x^2 - 6x + 5 > 0 \) với mọi \( x \).

### c) \( x^2 + y^2 - 8x + 4y + 27 \)

Chúng ta sẽ nhóm các biến:

\[
x^2 - 8x + y^2 + 4y + 27
\]

Hoàn thiện bình phương cho từng phần:

1. Đối với \( x^2 - 8x \):

\[
= (x - 4)^2 - 16
\]

2. Đối với \( y^2 + 4y \):

\[
= (y + 2)^2 - 4
\]

Kết hợp lại:

\[
(x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 + 27 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 7
\]

Vì \( (x - 4)^2 \) và \( (y + 2)^2 \) đều không âm, nên:

\[
(x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 7 \geq 7 > 0
\]

Vậy \( x^2 + y^2 - 8x + 4y + 27 > 0 \) với mọi \( x, y \).

### Kết luận

Tất cả các biểu thức \( a, b, c \) đều lớn hơn 0 với mọi giá trị của \( x \) (và \( y \) trong trường hợp \( c \)).