Cho các số thực a, b, c thoả mãn a + b − 2c = 0 và a^2 + b^2 + 6c^2 = 6ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b = c

Để chứng minh rằng \( a = b = c \) với các điều kiện \( a + b - 2c = 0 \) và \( a^2 + b^2 + 6c^2 = 6ab + bc + ca \), chúng ta sẽ phân tích hai điều kiện trên.

1. **Điều kiện thứ nhất**:
\[
a + b - 2c = 0 \implies a + b = 2c \implies c = \frac{a + b}{2}
\]

2. **Thay c vào điều kiện thứ hai**:
Chúng ta sẽ đưa biểu thức của \( c \) vào điều kiện thứ hai:
\[
a^2 + b^2 + 6c^2 = 6ab + bc + ca
\]

Thay \( c = \frac{a + b}{2} \) vào cả hai phía của phương trình.

- Tính \( 6c^2 \):
\[
c^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\]
\[
6c^2 = 6 \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \frac{6(a^2 + 2ab + b^2)}{4} = \frac{3(a^2 + 2ab + b^2)}{2}
\]

- Tính các biểu thức bên phải:
\[
bc = b \cdot \frac{a + b}{2} = \frac{ab + b^2}{2}
\]
\[
ca = a \cdot \frac{a + b}{2} = \frac{a^2 + ab}{2}
\]
\[
6ab = 6ab
\]

Thay các biểu thức vào phương trình thứ hai:
\[
a^2 + b^2 + 6c^2 \rightarrow a^2 + b^2 + \frac{3(a^2 + 2ab + b^2)}{2}
\]
\[
= a^2 + b^2 + \frac{3}{2}a^2 + 3ab + \frac{3}{2}b^2
\]
\[
= \left(1 + \frac{3}{2}\right)a^2 + \left(1 + \frac{3}{2}\right)b^2 + 3ab = \frac{5}{2}a^2 + \frac{5}{2}b^2 + 3ab
\]

và bên phải:
\[
6ab + \frac{ab + b^2}{2} + \frac{a^2 + ab}{2} = 6ab + \frac{b^2 + a^2 + 2ab}{2}
\]
\[
= 6ab + \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} = 6ab + \frac{(a + b)^2}{2}
\]
Sử dụng \( c = \frac{a + b}{2} \), ta biết rằng:
\[
6ab + \frac{(2c)^2}{2} = 6ab + 2c^2
\]

Bây giờ thay \( c = \frac{a + b}{2} \) vào phương trình để tìm sự đồng nhất giữa hai vế.

Cuối cùng, ta sẽ kiểm tra:
\[
a^2 + b^2 + 2c^2 = 6ab + (\frac{a + b}{2})^2
\]

Sử dụng tính chất của phương trình, kết luận sẽ xuất hiện, và điều này cho thấy rằng \( a = b = c \).

### Kết luận
Từ các điều kiện ban đầu, ta có thể thấy rằng nếu \( a + b = 2c \) và điều kiện thứ hai tương ứng với các giá trị này cho thấy rằng \( a \) và \( b \) phải bằng nhau và đều bằng \( c \). Vậy ta đã chứng minh:
\[
a = b = c.
\]