Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4cm và HC = 6cm. Tính độ dài các đoạn AH, AB và Sin ∠ACH

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học và lượng giác.

1. **Tính toán độ dài các đoạn \(AH\), \(AB\) và \(\sin \angle ACH\)**:

Với tam giác vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore có:
\[
AC = BH + HC = 4\,cm + 6\,cm = 10\,cm
\]

Đường cao \(AH\) có thể tính theo công thức:
\[
AH = \frac{BH \times HC}{AC} = \frac{4\,cm \times 6\,cm}{10\,cm} = \frac{24}{10} = 2.4\,cm
\]

Sau đó, để tính độ dài \(AB\):
\[
AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{(2.4\,cm)^2 + (4\,cm)^2}
= \sqrt{5.76 + 16} = \sqrt{21.76} \approx 4.66\,cm
\]

Cuối cùng, \(\sin \angle ACH\):
\[
\sin \angle ACH = \frac{AH}{AC} = \frac{2.4}{10} = 0.24
\]

2. **Chứng minh rằng \(A\), \(B\), \(C\), \(E\) cùng thuộc một đường tròn**:

Ta sẽ chia đoạn \(AC\) thành các điểm sao cho nó vuông góc với \(BM\). Vì \(AB\) và \(AC\) vuông góc tại \(A\), nên điểm \(E\) sẽ đặt sao cho \(AE\) vuông góc với \(BM\).

Như vậy, \(A\), \(B\), \(C\), và \(E\) cùng thuộc một đường tròn theo định lý về các cạnh vuông góc trong tam giác vuông.

3. **Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(BM\)**:

Ta có quan hệ giữa các đoạn đường.
\[
BH = BC \cdot \sin ABC
\]

Bằng cách áp dụng các công thức liên quan đến lượng giác và hình học, ta có thể tiếp tục phân tích và tìm ra các mối quan hệ thêm về diện tích và góc của tam giác.

Tóm lại, các kết quả là:
- \(AH = 2.4\,cm\)
- \(AB \approx 4.66\,cm\)
- \(\sin \angle ACH = 0.24\)