Để chứng minh \( Ax \parallel Cy \), chúng ta có thể sử dụng định lý về các góc thay thế.

1. **Xác định các góc**:
- Biết rằng \( A = 60^\circ \), \( ABC = 110^\circ \), và \( C = 50^\circ \).
- Góc \( ABC \) có thể được phân tích thành: \( \angle ABC = \angle CAB + \angle ACB = A + C = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ \).

2. **Tính toán góc**:
- Từ đó, ta có:
\[
\angle ABC = 110^\circ
\]
- Ta tính góc \( CBA \) bằng công thức:
\[
CBA = 180^\circ - ABC - C = 180^\circ - 110^\circ - 50^\circ = 20^\circ
\]

3. **So sánh các góc đồng vị**:
- Quan sát rằng \( \angle CBA \) và \( \angle Axy \) nằm ở vị trí đồng vị. Để xác định góc \( \angle Axy \), ta có:
\[
\angle Axy = 180^\circ - A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]
- Ta so sánh:
\[
\angle Axy = 120^\circ \quad \text{và} \quad \angle CBA = 20^\circ
\]

4. **Kết luận**:
- Theo tính chất, nếu:
\[
\angle A = \angle C + \angle CBA = 60^\circ = 20^\circ + 40^\circ
\]
- Vậy \( Ax \parallel Cy \) theo định lý góc đồng vị.

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( Ax \parallel Cy \).