Để giải hệ phương trình:

1. \( x + y + z = \sqrt{6} \)
2. \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)

Chúng ta có thể sử dụng một số tính chất của số học.

**Bước 1: Sử dụng Đẳng thức của các số hạng**

Dựa vào định lý Euler, ta biết rằng nếu \( x + y + z = k \), thì:

\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)((x + y + z)^2 - 3(xy + xz + yz))
\]

Thay \( x + y + z = \sqrt{6} \) vào công thức trên, ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \sqrt{6} \left( (\sqrt{6})^2 - 3(xy + xz + yz) \right)
\]

Vì \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \), ta có:

\[
3xyz - 3xyz = \sqrt{6} \left( 6 - 3(xy + xz + yz) \right)
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
0 = \sqrt{6}(6 - 3(xy + xz + yz))
\]

**Bước 2: Giải phương trình trên**

Từ đây, nếu \( \sqrt{6} \neq 0 \) (đúng vì \( \sqrt{6} \) là số dương), ta suy ra:

\[
6 - 3(xy + xz + yz) = 0
\]

=>

\[
xy + xz + yz = 2
\]

**Bước 3: Lập phương trình cho x, y, z**

Giờ đây, chúng ta đã có 3 thông tin:

1. \( x + y + z = \sqrt{6} \)
2. \( xy + xz + yz = 2 \)
3. \( xyz \) là một biến số chưa biết.

Giả sử \( x, y, z \) là nghiệm của phương trình bậc 3:

\[
t^3 - (\sqrt{6})t^2 + 2t - xyz = 0
\]

**Bước 4: Tìm nghiệm**

Tại đây bạn có thể thay thế \( xyz \) bởi một giá trị bất kỳ (giả sử là 1, hay 0, hay -1) và sử dụng phương pháp phân tích, hoặc thử nghiệm các giá trị.

**Kết quả**

Dễ dàng thấy rằng các giá trị có thể là \( x, y, z = 1, 1, \sqrt{6} - 2 \) (vì tổng lại là \( \sqrt{6} \) và tích là 1) hoặc các hoán vị của những giá trị đó.

Tuy nhiên, để có được nghiệm chính xác hơn, bạn có thể sử dụng thêm các máy tính hoặc phần mềm hỗ trợ như Matlab, Python để tìm nghiệm chi tiết.

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn.