Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S)\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z + 7 = 0\). Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu \((S)\) sao cho góc AMB=90^o. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng (1) _____ 4 _____

Giải thích

Ta có: \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 4 \Rightarrow (S)\) có tâm \(I(1;1;3)\) và bán kính \(R = 2\).

Theo bài ra ta có: A, M, B nằm trên mặt cầu \((S)\) và góc AMB=90^o  suy ra AB qua \(I \Rightarrow AB = 2R = 4\).

Ta có \({S_{AMB}} = \frac{1}{2}MA.MB \le \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4} = 4\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow MA = MB = \frac{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \) và \(AB = 4\).

Do đó diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng 4.