Cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah. chứng minh:

Để chứng minh các tỉ lệ trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \), ta sẽ sử dụng các thuộc tính hình học của tam giác vuông và một số định lý cơ bản.

### a) Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)

Trong tam giác vuông \( ABC \):

- Ta có tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \).
- Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \quad (2)
\]

- Từ đó, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (3)
\]

- Từ (1) và (2) thay vào (3):

\[
BC^2 = (AH^2 + BH^2) + (AH^2 + CH^2) \Rightarrow
BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2 \quad (4)
\]

- Áp dụng định lý trong tam giác vuông \( ABH \):

\[
AH^2 = BH \cdot CH \rightarrow AB^2 = BH \cdot BC
\]

### b) Chứng minh \( AC^2 = CH \cdot BC \)

Tương tự như phần trên, ta cũng có:

\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

Và từ đó áp dụng vào định lý Pythagore để kết luận \( AC^2 = CH \cdot BC \).

### c) Chứng minh \( AH^2 = BH \cdot CH \)

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), và đường cao \( AH \) sẽ cho ta tỉ lệ:

\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Điều này được chứng minh từ hệ thức giữa đường cao và các cạnh trong tam giác vuông.

### d) Chứng minh \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \)

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

=> Tiến hành phân tích theo diện tích tam giác:

\[
AB \cdot AC = AH \cdot BC
\]

### e) Chứng minh \( \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \)

Áp dụng các quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông và độ dài đường cao, ta có:

\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{BH \cdot CH}
\]

Dễ dàng thấy rằng, với từng phần, ta có:

\[
\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{BH^2} + \frac{1}{CH^2}
\]

Vì vậy, từ các hệ thức thiết lập trên, ta có thể rút ra được phương trình như đã chứng minh.

Tóm lại, với các chứng minh qua định lý và các thuộc tính của tam giác vuông, ta đã hoàn thành các yêu cầu chứng minh trên.