Đáp án

Giá trị \(r\) của số phức zw bằng \(5\sqrt 2 \).

Giá trị \(\cos \varphi \) của số phức \(\frac{w}{z}\) bằng \( - \frac{{\sqrt 2 }}\).

Giá trị \(n\) của số phức \({z^n}\) bằng 2024 .

Giải thích

Với số phức \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = r cos \varphi }\\{b = r sin \varphi }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {r^2}{{\cos }^2}\varphi }\\{{b^2} = {r^2}{{\sin }^2}\varphi }\end{array} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {r^2}\left( {{{\cos }^2}\varphi  + {{\sin }^2}\varphi } \right) \Rightarrow r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .} \right.} \right.\)

Với \(z = 1 + i,{\rm{ }}w = 3 - 4i\) ta có :

+) \(zw = 7 - i \Rightarrow r = \sqrt {{7^2} + {{( - 1)}^2}}  = 5\sqrt 2 \)

+) \(\frac{w}{z} =  - \frac{1}{2} - \frac{7}{2}i \Rightarrow r = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{7}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{a}{r} = \left( { - \frac{1}{2}} \right):\frac{{5\sqrt 2 }}{2} =  - \frac{{\sqrt 2 }}.\)

+) Giả sử số phức z có dạng lượng giác là \({r^\prime }(\cos \alpha  + i\sin \alpha )\). Khi đó: \({r^\prime } = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow z = \sqrt 2 (\cos \alpha  + i\sin \alpha ) \Rightarrow {z^n} = {(\sqrt 2 )^n}(\cos n\alpha  + i\sin n\alpha )\)

Mặt khác, \({z^n} = {2^{1012}} = {2^{1012}} + 0.i \Rightarrow {r_{{z^n}}} = \sqrt {{{\left( {{2^{1012}}} \right)}^2} + 0}  = {2^{1012}} = {(\sqrt 2 )^n} \Rightarrow n = 2024\)