Cho phương trình \(3{\cos ^2}x + 2|\sin x| = m\) (∗) với m là tham số.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Phát biểu | Đúng | Sai |
Với m = 1, phương trình (∗) có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. | ||
Có 2 giá trị nguyên của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. | ||
Có một giá trị của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\). |
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Phát biểu | Đúng | Sai |
Với m = 1, phương trình (∗) có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. | X | |
Có 2 giá trị nguyên của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm. | X | |
Có một giá trị của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\). | X |
Giải thích
Ta có:
\(3{\cos ^2}x + 2|\sin x| = m\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 2|\sin x| = m\)
\( \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2|\sin x| + m - 3 = 0\) (∗∗)
+, Với m = 1, phương trình trở thành: \[3{\sin ^2}x - 2\left| {\sin x} \right| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {\sin x} \right| = \frac{3}}\\{\left| {\sin x} \right| = \frac{3}}\end{array}} \right.\,\,\left( L \right)\]
Vậy với m = 1, phương trình (∗) vô nghiệm.
+, Đặt \(t = |\sin x|\,\,(t \ge 0)\). Phương trình (∗∗) trở thành: \(m = - 3{t^2} + 2t + 3\).
Phương trình (∗) có nghiệm ⇔(∗∗) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).
⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(f(t) = - 3{t^2} + 2t + 3\) tại ít nhất một điểm có hoành độ thỏa mãn \[0 \le {t_0} \le 1\].
Bảng biến thiên của hàm số \(f(t) = - 3{t^2} + 2t + 3\) trên [0;1]:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{3}\) hay có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \((*)\) có nghiệm.
+ , Trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\), nếu \(x\) là nghiệm của phương trình \((*)\) thì \( - x\) cũng là nghiệm của \((*)\).
Để phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì \(x = 0\).
Với \(x = 0\) ta có: \((**) \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)
Thử lại, với \(m = 3\), phương trình \((**)\) trở thành \(3{\sin ^2}x - 2\left| {\sin x} \right| = 0 \Leftrightarrow \)\(\begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = \pm \frac{2}{3}\end{array}\)
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\), phương trình \((*)\) có nhiều hơn một nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị của tham số m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |