Giải thích

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có

\(\overrightarrow {AM}  = \left( {x;y + 1;z - 2} \right),\overrightarrow {BM}  = \left( {x - 2;y + 3;z} \right),\overrightarrow {CM}  = \left( {x + 2;y - 1;z - 1} \right)\),

\(\overrightarrow {DM}  = \left( {x;y + 1;z - 3} \right)\).

Từ giả thiết: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 1\\\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 1\end{array} \right.\) \[\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1\\x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 4\\{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = 4\end{array} \right.\)

Suy ra quỹ tích điểm \(M\) là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm \({I_1}\left( {1; - 2;1} \right),{R_1} = 2\) và mặt cầu tâm \({I_2}\left( { - 1;0;2} \right),{R_2} = 2\).

Ta có: \({I_1}{I_2} = 3\). Khi đó, \(r = \sqrt {R_1^2 - {{\left( {\frac{{{I_1}{I_2}}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {4 - \frac{9}{4}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\).