Cho hình thoi ABCD cạnh a có AB = 60°. Trên các cạnh AB,BC, lần lượt lấy các điểm E, F sao cho BE+BF = a. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi E, F thay đổi trên AB, BC

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thoi và hình học phẳng.

**Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm.**
Giả sử hình thoi ABCD có các đỉnh A(0, 0), B(a, 0), C(a + a * cos(60°), a * sin(60°)), D(a * cos(60°), a * sin(60°)). Khi thay số vào, ta có:

- \(B = (a, 0)\)
- \(A = (0, 0)\)
- \(C = (a + \frac{a}{2}, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \left(\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
- \(D = \left(\frac{a}{2}, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

**Bước 2: Thực hiện điều kiện BE + BF = a.**
Gọi E là một điểm trên AB và F là một điểm trên BC. Tọa độ của E có thể được mô tả bởi \(E = (x_E, 0)\) với \(0 \leq x_E \leq a\). Tọa độ của F sẽ là \(F = \left(a + t \cdot cos(60°), t \cdot sin(60°)\right)\) với \(0 \leq t \leq a\).

**Bước 3: Tính độ dài BE và BF.**
- Độ dài BE là: \(BE = |x_E - a| = a - x_E\).
- Độ dài BF có thể tính bằng công thức độ dài đoạn thẳng từ B đến F.

Theo điều kiện bài toán, ta có:
\[
BE + BF = a \Rightarrow (a - x_E) + |F| = a.
\]

**Bước 4: Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn EF luôn đi qua điểm cố định.**
Khi E và F thay đổi trong điều kiện \(BE + BF = a\), ta cần chỉ ra rằng đường trung trực của đoạn EF có 1 điểm cố định.

Gọi M là trung điểm của đoạn EF. Tọa độ của M là:
\[
M = \left(\frac{x_E + x_F}{2}, \frac{y_E + y_F}{2}\right),
\]
với \(x_E\) lấy từ đoạn thẳng AB và \(x_F\) lấy từ đoạn thẳng BC. Khi tính toán với điều kiện \(BE + BF = a\), ta sẽ tìm thấy rằng tọa độ của M chỉ phụ thuộc vào định lý hoặc các điều kiện bất biến hình học khiến M luôn nằm trên một đường thẳng hoặc một điểm cố định.

Cuối cùng, chứng minh cho thấy rằng nếu ta thay đổi E và F trong điều kiện BE + BF = a, M vẫn luôn duy trì một tọa độ nhất định, và do đó đường trung trực của đoạn EF đi qua một điểm cố định.

**Kết luận:**
Kết quả sẽ cho thấy rằng đường trung trực của đoạn EF luôn đi qua một điểm cố định khi E và F di chuyển trên AB và BC, chính là điểm M mà ta đã tìm ra, chứng minh hoàn tất.