Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Ta có:
- AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC tại A, nên \(AM = \frac{1}{2} BC\).
- MD vuông góc với AB tại D, và ME vuông góc với AC tại E.

Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng:
1. AD // ME và AD = ME
2. AM // DE và AM = DE

Vì MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, nên ta có các góc vuông:
- \( \angle ADM = 90^\circ \) và \( \angle AEM = 90^\circ \).

Ngoài ra, do A là đỉnh của tam giác vuông, nên các đoạn thẳng AM, MD, ME tạo thành một tứ giác có các góc vuông ở A, M. Suy ra ADME là hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của ME. Chứng minh DM = EC và 3 điểm D, O, C thẳng hàng.

Vì O là trung điểm của ME, ta có:
- \( MO = OE \)

Lại có:
- \( MD = ME \) (vì là MD và ME đều là các đường cao từ A xuống các cạnh BC) => Vì AD và EC vuông góc với AB và AC, ta có một tam giác vuông.

Chúng ta cần chứng minh rằng D, O, C thẳng hàng. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông.

### c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho HI = HA, chứng minh AK vuông góc với IC.

Để chứng minh AK vuông góc với IC, ta xét:
- AH là đường cao từ A xuống BC, do đó AK sẽ là đoạn thẳng vuông góc với BC.
- Bằng cách sử dụng tính chất của các tam giác vuông, ta sẽ chỉ ra rằng HI = HA sẽ giúp I nằm trên đường tròn mà tâm là H và bán kính là HA.

Ta cũng cần chứng minh rằng HK = HB. Lúc này, tứ giác HKIC sẽ có kiểu hình chữ nhật hoặc hình vuông, vì vậy AK sẽ vuông góc với IC.

Hy vọng hướng dẫn này có thể giúp bạn giải quyết bài toán một cách dễ dàng!