Để rút gọn biểu thức sau:

\[
\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x^2 - 4x + 6}
\]

trước tiên, cần phân tích mẫu số của từng phân số.

1. Mẫu số thứ hai là \(x^2 - 4x + 6\). Điều này không thể phân tích thành nhân tử đơn giản. Tuy nhiên, nó có thể viết lại dưới dạng kiểu \( (x - 2)^2 + 2 \).

Vì vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\[
\frac{1}{x-2} + \frac{2}{(x-2)^2 + 2}
\]

2. Bây giờ tìm mẫu số chung. Mẫu số chung sẽ là \( (x-2)((x-2)^2 + 2) \).

3. Tìm phân số tương đương và cộng lại:

\[
\frac{1 \cdot ((x-2)^2 + 2) + 2 \cdot (x-2)}{(x-2)((x-2)^2 + 2)}
\]

4. Tính toán tử số:

- Tính \(1 \cdot ((x-2)^2 + 2)\):
\[
= (x-2)^2 + 2
\]
- Tính \(2 \cdot (x-2)\):
\[
= 2x - 4
\]

Kết hợp lại:
\[
(x-2)^2 + 2 + 2x - 4
\]
\[
= x^2 - 4x + 4 + 2x - 4
\]
\[
= x^2 - 2x
\]

5. Cuối cùng, biểu thức trở thành:

\[
\frac{x^2 - 2x}{(x-2)((x-2)^2 + 2)}
\]

6. Rút gọn tử số nếu có thể. Cả hai yếu tố trong tử là \((x(x-2))\):

\[
= \frac{x(x-2)}{(x-2)((x-2)^2 + 2)}
\]

Có thể rút gọn \((x-2)\):

\[
= \frac{x}{(x-2)^2 + 2} \quad (x \neq 2)
\]

Vậy, biểu thức đã rút gọn là:

\[
\frac{x}{(x-2)^2 + 2} \quad (với \, x \neq 2)
\]