Để giải bài toán này, ta cần chứng minh một số kết quả hình học liên quan đến hình vuông ABCD và các điểm O, E, F, I, M, H.

**a) Chứng minh AOBE = AODF:**

- Ta có hình vuông ABCD, với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
- Do AC và BD cắt nhau tại O, và trong một hình vuông, các góc tạo bởi hai đường chéo luôn bằng nhau.
- Vậy, góc AOB = góc AOD và góc OBE = góc OFD.
- Nhờ đó, các tam giác AOB và AOD có cùng một góc và chia chung cạnh AO, do vậy theo tiêu chí góc - cạnh - góc (góc 1), ta có AOB = AOD.

**b) Lấy điểm I sao cho DFOI là hình bình hành:**

- Từ định nghĩa hình bình hành, nếu D, F, O, I là bốn đỉnh của hình bình hành, thì DI và FO sẽ song song và bằng nhau.
- Ta có OE và AD cắt tại F, từ đó OBEI là hình bình hành và suy ra IE sẽ vuông góc với OC.

**c) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BI:**

- Bởi vì M là trung điểm của BI, ta có BM = MI.
- Cùng với việc chứng minh M là trung điểm của OE, từ đó suy ra H là trục lớn của tam giác OCE.

**d) Chứng minh BH = OE:**

- Bởi vì BH và OE đều là cạnh của tam giác OEC, nên từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra rằng BH = OE.

Nếu cần giải chi tiết thêm hoặc có bất kỳ yêu cầu nào khác, hãy cho tôi biết!