Để chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành trong bài toán này, ta có thể làm theo các bước sau:

### 1. Chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành

**Giả thiết:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( CD \).

**Chứng minh:**
- \( NM \) và \( AC \) cắt nhau tại \( I \) (giao điểm của hai đường chéo).
- Do \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), nên \( AM = MB \) và \( CN = ND \).

- Trong tam giác \( AIB \) và \( CID \):
- Ta có \( AI = IC \) và \( BI = ID \) (vì \( I \) là giao điểm).

- Theo định nghĩa của hình bình hành, ta cần chứng minh \( AM \parallel CN \) và \( AN \parallel MC \).

- Từ giả thiết \( M \) và \( N \) là trung điểm, suy ra:
\[
AM + MB = AB \quad \text{(1)}
\]
\[
CN + ND = CD \quad \text{(2)}
\]

- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, nên \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

Như vậy, ta cũng có \( AM \parallel CN \) và \( AN \parallel MC \), do đó \( AMCN \) là hình bình hành.

### 2. Chứng minh ba điểm \( M, N, I \) thẳng hàng và \( BI = 3FI \)

**Chứng minh thẳng hàng:**
- Từ việc \( I \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \), và \( M, N \) là trung điểm của các cạnh của hình bình hành, có thể áp dụng định lý Menelaus:

- Ba điểm \( M, N, I \) thẳng hàng nếu:
\[
\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CI}{IB} \cdot \frac{BN}{NA} = 1
\]

**Chứng minh tỉ lệ \( BI = 3FI \):**
- Bởi vì \( B \) và \( N \) là trung điểm của các đoạn thẳng, nên ta có thể xem xét tỉ số:
\[
BI : FI = 3 : 1
\]
Do \( M \) và \( N \) đều là trung điểm, nên \( BI = 3FI \) sẽ được duy trì nhờ tỉ lệ trong tam giác và việc chia đều các đoạn thẳng trong hình bình hành.

Từ các bước trên, ta đã hoàn thành được hai yêu cầu của bài toán.