Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Tính tan ∠AIO

1. **Ký hiệu và thông tin**:
- Gọi O là tâm của đường tròn, R là bán kính của đường tròn.
- A là điểm nằm trên đường tròn, I là điểm nằm trên đường thẳng tiếp tuyến tại A.
- B là một điểm khác nằm ngoài đường tròn mà IB = 1A.

2. **Xét tam giác**:
- Tạo tam giác AIO, trong đó IA là tiếp tuyến với đường tròn tại A.
- Theo quy tắc của tiếp tuyến, góc AIO sẽ vuông góc với IA.

3. **Áp dụng định nghĩa**:
- Tan góc AIO = đối / kề = AO / IO.
- AO = R (bán kính) và IO = IA.

4. **Tính toán**:
- Ta biết OA = R và IA = √3.
- Do đó, \( \tan AIO = \frac{R}{√3} \).

### b) Tính ∠AIB và chứng minh IB tiếp xúc với (O)

1. **Tính ∠AIB**:
- Khi I là điểm bên ngoài đường tròn và B nằm trong thời điểm này, ta cần tính ∠AIB.
- Ta biết rằng IB là tia cắt đường tròn tại điểm B và A là điểm tiếp xúc.
- Sử dụng định lý về tiếp tuyến và dây cung trong hình tròn: ∠AIB = ∠AOB (với O là tâm).

2. **Chứng minh IB tiếp xúc với (O)**:
- Theo điều kiện của tiếp tuyến, tia IB sẽ là tiếp tuyến với (O) tại điểm B nếu ∠AIB = 90°.
- Ta đã biết ∠AIB = ∠AOB = 90° (do IA là tiếp tuyến), suy ra IB tiếp xúc với đường tròn (O).

#### Kết luận:
- Đã tính tan ∠AIO và chứng minh rằng IB tiếp xúc với đường tròn (O).