Để tính giá trị của \( A = |x_1^3 - x_2^3| \) mà không giải phương trình, chúng ta có thể sử dụng một số tính chất của nghiệm.

Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
x^2 - 5x + 1 = 0
\]
Theo định lý Viète, chúng ta có:
- Tổng hai nghiệm: \( x_1 + x_2 = 5 \)
- Tích hai nghiệm: \( x_1 x_2 = 1 \)

Chúng ta có thể biểu diễn \( A \) như sau:
\[
A = |x_1^3 - x_2^3| = |(x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)|
\]

Chúng ta cần tìm giá trị \( x_1 - x_2 \) và \( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 \).
Đầu tiên, chúng ta tính \( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 \):
\[
x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2
\]
Áp dụng công thức tính \( x_1^2 + x_2^2 \):
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5^2 - 2 \cdot 1 = 25 - 2 = 23
\]
Vì vậy:
\[
x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = 23 + 1 = 24
\]

Tiếp theo, để tính \( |x_1 - x_2| \), ta sử dụng:
\[
x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}
\]

Bây giờ thay vào công thức cho \( A \):
\[
A = |x_1 - x_2| \cdot (x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) = \sqrt{21} \cdot 24
\]
Cuối cùng, chúng ta có:
\[
A = 24\sqrt{21}
\]
Vậy kết quả là:
\[
A = 24\sqrt{21}
\]