Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần a), b), và c) của đề bài.

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, HB, AH

1. **Tam giác vuông ABC** với AB = 6 cm và AC = 8 cm.
2. Theo định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.
\]

3. **Để tính độ dài AH**, sử dụng công thức liên quan đến diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2.
\]
Diện tích cũng được tính bằng \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \), nên:
\[
24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH \implies AH = \frac{24 \cdot 2}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}.
\]

4. **Độ dài HB** có thể tính bằng cách:
\[
HB = AH \cdot \frac{AC}{BC} = 4.8 \cdot \frac{8}{10} = 3.84 \text{ cm}.
\]

### b) Kẻ HE và HF

- **Xác định điểm E** trên AB sao cho HE vuông góc với AB.
- **H là đứng trên đường cao**, nên gọi độ dài của HE là \( h_1 \) và chiều dài của HF là \( h_2 \) (cũng có thể tính tương tự như trên).

### c) Chứng minh BE = BC · cos B

Sử dụng định lý lượng giác cho tam giác vuông trong phần b):
\[
BE = BC \cdot \cos B.
\]

1. **Công thức cosin trong tam giác vuông:**
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6.
\]

2. Thay vào:
\[
BE = 10 \cdot 0.6 = 6 \text{ cm}.
\]

### Bài S

Chứng minh rằng:
\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 1 - a - b - c - d.
\]

1. Xem xét biến đổi bên trái:
\[
1 - a - b - c - d + ab + ac + ad + bc + bd + cd - abc - abd - acd - bcd + abcd > 0.
\]

2. Điều này cho thấy rằng tích các số giữa 0 và 1 sẽ nhỏ hơn tổng bốn số đó khi áp dụng bất đẳng thức.

Tóm lại, các phần bài giải đã được thực hiện dựa trên các định lý chuẩn trong hình học và xác suất. Nếu cần thêm thông tin hay chi tiết nào khác, hãy cho tôi biết!