Trong tam giác vuông ABC, với A là góc vuông, ta có:

- \( AB = 6 \) cm
- \( \angle B = 60^\circ \)

**Bước 1: Tính số độ góc \( \angle C \)**

Sử dụng tổng các góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Vì \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle B = 60^\circ \), vậy:
\[
90^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ
\]
\[
\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ
\]

**Bước 2: Tính độ dài cạnh \( BC \)**

Ta có thể sử dụng định nghĩa sin trong tam giác vuông:
\[
\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}
\]
Ngoài ra ta biết rằng:
\[
BC = \frac{AB}{\sin(\angle B)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)}
\]

Tính giá trị của \( \sin(60^\circ) \):
\[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Thay vào công thức trên:
\[
BC = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}
\]

**Kết luận:**
- \( \angle C = 30^\circ \)
- \( BC = 4\sqrt{3} \) cm (khoảng 6.93 cm).