Cho đường tròn O, dây AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Lấy điểm M trên dây AB. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với OM cắt đường thẳng Ax, By lần lượt tại C và D

Để chứng minh các điều bạn yêu cầu, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh các tứ giác \( AOMC \) và \( DOMB \) nội tiếp:

1. **Tứ giác \( AOMC \)**:
- Tại điểm A, dây AB và tiếp tuyến Ax tạo thành một góc vuông (góc tiếp tuyến). Do đó, góc \( OAC = 90^\circ \).
- Đường thẳng MC vuông góc với OM, điều đó tương đương với việc \( \angle OMC = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle OAC + \angle OMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Vậy tứ giác \( AOMC \) nội tiếp.

2. **Tứ giác \( DOMB \)**:
- Tại điểm B, dây AB và tiếp tuyến By cũng tạo thành một góc vuông (góc tiếp tuyến). Do đó, góc \( OBD = 90^\circ \).
- Tương tự như trên, đường thẳng MD vuông góc với OM nên \( \angle OMD = 90^\circ \).
- Kết hợp lại, \( \angle OBD + \angle OMD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Nên tứ giác \( DOMB \) cũng nội tiếp.

### b) Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( CD \):

Chúng ta sử dụng tính chất của hình học trong tứ giác nội tiếp:

1. Từ tứ giác \( AOMC \) nội tiếp, ta có \( \angle AMC = \angle AOC \).
2. Từ tứ giác \( DOMB \) nội tiếp, ta có \( \angle BMD = \angle BOD \).
3. Do đó, từ \( \angle AOC = \angle BOD \), sẽ có \( \angle AO'C = \angle BOD \), với O' là hình chiếu của O lên dây AB.
4. Nếu ta ký hiệu \( O'M \) là đường vuông góc từ O tới AB, thì ta có \( AO' = BO' \) (do O nằm giữa A và B).
5. Khi đó, \( AM = MB \) và \( MC = MD \), do đó \( M \) sẽ là trung điểm của \( CD \).

Như vậy, vừa chứng minh được rằng tứ giác \( AOMC \) và \( DOMB \) nội tiếp, vừa chứng minh được rằng \( M \) là trung điểm của \( CD \).