Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

Bước 1: Tính \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2\).

\[
\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]

Bước 2: Tính biểu thức thứ hai \( \frac{3}{5} - \frac{7 \cdot 3}{18 \cdot 5} \).

Đầu tiên, chúng ta tính \( \frac{7 \cdot 3}{18 \cdot 5} \):

\[
\frac{7 \cdot 3}{18 \cdot 5} = \frac{21}{90}
\]

Tiếp theo, để thực hiện phép trừ, chúng ta cần quy đồng mẫu cho \( \frac{3}{5} \) và \( \frac{21}{90} \). Mẫu số chung của 5 và 90 là 90.

Biểu thức \( \frac{3}{5} \) được quy đồng về mẫu 90:

\[
\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 18}{5 \cdot 18} = \frac{54}{90}
\]

Bây giờ, thực hiện phép trừ:

\[
\frac{54}{90} - \frac{21}{90} = \frac{54 - 21}{90} = \frac{33}{90} = \frac{11}{30}
\]

Bước 3: Cuối cùng, nhân kết quả của hai phần lại với nhau:

\[
\frac{4}{9} \cdot \frac{11}{30} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 30} = \frac{44}{270}
\]

Rút gọn phân số \( \frac{44}{270} \):

\[
\frac{44}{270} = \frac{22}{135}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{22}{135}
\]