Ta có biểu thức:

\[
B = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \ldots + \frac{99}{3^{99}} + \frac{100}{3^{100}}
\]

Để tính giá trị của \(B\), ta có thể nhận diện đây là một tổng cung cấp các số hạng dưới dạng \(\frac{n}{3^n}\).

Công thức tổng của chuỗi có dạng:

\[
\sum_{n=1}^{k} n x^n = x \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{k} x^n \right)
\]

Với \(\sum_{n=0}^{k} x^n = \frac{1 - x^{k+1}}{1-x}\) (đây là công thức tổng của một cấp số cộng).

Thay vào:

\[
\sum_{n=1}^{k} n x^n = x \frac{d}{dx} \left( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} \right)
\]

Bây giờ, chúng ta chọn \(x = \frac{1}{3}\):

\[
\sum_{n=0}^{100} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{101}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^{101}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^{101}} \right)
\]

Sau đó, tính đạo hàm và rút gọn:

\[
\sum_{n=1}^{100} n \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{1}{3} \frac{d}{d\left(\frac{1}{3}\right)} \left( \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^{101}} \right) \right)
\]

Rút gọn và tính toán sẽ cho ra tổng là:

\[
B = \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{101}{3^{101}} \right)
\]

Cuối cùng, giá trị của biểu thức \(B\) sẽ là:

\[
B = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

Thử làm khảo sát lại các bước sẽ giúp có một kết quả đầy đủ và chính xác hơn.