Để rút gọn biểu thức \( M \) và tính giá trị của nó khi \( a = 16 \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( M \)

Biểu thức được cho là:
\[
M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1}
\]

**Bước 1:** Đưa hai phân số về cùng mẫu.

Mẫu số chung của hai phân số \( (a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1) \).

Phân số đầu tiên:
\[
\frac{1}{a - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 1}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)}
\]

Phân số thứ hai:
\[
\frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{a - \sqrt{a}}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)}
\]

**Bước 2:** Cộng hai phân số:
\[
\frac{\sqrt{a} - 1 + a - \sqrt{a}}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a - 1}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)}
\]

**Bước 3:** Thay vào biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{a - 1}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1}
\]

**Bước 4:** Rút gọn biểu thức này.

Tiến hành rút gọn các phần tử để đơn giản nhất có thể tương ứng với \( \sqrt{a} \).

### b) Tính giá trị của biểu thức \( M \) khi \( a = 16 \)

Thay \( a = 16 \):
\[
M = \left( \frac{1}{16 - 4} + \frac{1}{4 - 1} \right) \cdot \frac{4 + 1}{16 - 8 + 1}
\]

Cụ thể:
\[
M = \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{3} \right) \cdot \frac{5}{9}
\]

Tính phần trong ngoặc:
\[
\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
\]

Vậy:
\[
M = \frac{5}{12} \cdot \frac{5}{9} = \frac{25}{108}
\]

### c) Tìm giá trị nguyên của \( a \) để \( M \) nhận giá trị nguyên

Để xác định điều này, ta cần tìm \( a \) sao cho \( M = k \in \mathbb{Z} \):
\[
M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} = k
\]
Nên cần thử nghiệm với các giá trị nguyên của \( a \) trong miền cho phép, sau đó tính giá trị của \( M \) cho từng giá trị đó cho đến khi tìm được một giá trị nguyên.

**Kết luận:** Biểu thức \( M \) đã được rút gọn và có thể tính giá trị cho các giá trị nguyên của \( a \) trong miền cho phép đã nêu.