Để giải bài toán đã nêu, ta sẽ tiến hành theo từng phần:

### a) Chứng minh \( BA = BD \)

1. **Giả thuyết**: Ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
2. **Phân giác góc**: Tia phân giác góc \( B \) chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau.
3. **Tính chất của tia phân giác**: Tia phân giác chia cạnh đối diện tỉ lệ với hai cạnh kề.
4. Dựa trên định lý tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]
5. Xét tam giác vuông \( ABD \) và \( BDC \), do \( MD \perp BC \), ta có:
- Góc \( AMD = 90^\circ \)
- Góc \( BDA \) bằng nhau với góc \( BDC \) (cùng bằng góc vuông)
6. Từ đó, có thể suy ra:
\[
BA = BD
\]

### b) Chứng minh \( \Delta AEM = \Delta DCM \)

1. **Gọi \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( DM \) và \( BA \)**.
2. **Tính chất đường thẳng**: Vì \( MD \perp BC \) nên \( DM \) và \( BC \) cùng là đường vuông góc.
3. **Sử dụng các góc**:
- Góc \( AEM \) và góc \( DCM \) đều là góc vuông.
- Góc \( MAE = MCD \) (cùng nằm đối diện, do tính chất phân giác).
4. **Kết luận**: Từ đó, ta có thể suy ra rằng:
\[
\Delta AEM = \Delta DCM
\]

### c) Chứng minh \( \Delta ABC = \Delta ADBE \)

1. **Sử dụng định lý**:
- Xét các cạnh:
- \( AB \) và \( AD \) là hai cạnh tương ứng (cùng bằng nhau theo phần a).
- \( AC \) và \( AE \) cùng vuông góc với một cạnh.
2. **Góc vuông và các tỉ lệ**:
- Góc \( ABC = ADB \) (cùng bằng góc vuông).
- Góc \( ACB = ABE \) (do tia phân giác).
3. **Kết luận**: Từ những đặc điểm trên, ta có thể kết luận rằng:
\[
\Delta ABC = \Delta ADBE
\]

### Tổng kết
Chúng ta đã chứng minh được các điểm đã nêu theo từng phần yêu cầu trong bài toán. Mỗi phần đều dựa trên kiến thức hình học cơ bản về các tính chất của tam giác vuông và tia phân giác.