Cho đường thẳng xy và một điểm A cách xy một khoảng 3cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 10cm

Để giải bài tập này, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh rằng đường thẳng xy có hai giao điểm với đường tròn (A).

1. **Xác định các yếu tố:**
- Đường thẳng xy.
- Điểm A cách đường thẳng xy một khoảng 3 cm.
- Đường tròn tâm A bán kính 10 cm.

2. **Xét khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng xy:**
- Khoảng cách từ A đến đường thẳng xy là 3 cm, nhỏ hơn bán kính của đường tròn (10 cm).

3. **Ứng dụng định lý về đường tròn và đường thẳng:**
- Khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính, đường thẳng sẽ cắt đường tròn tại hai điểm, tức là có hai giao điểm.

### b) Gọi hai giao điểm nối trên là B và C. Tính độ dài BC.

1. **Xác định phương trình:**
- Giả sử đường thẳng xy có phương trình \(y = 0\) (trong hệ trục tọa độ).
- Tọa độ điểm A là \(A(0, 3)\).

2. **Tìm giao điểm của đường tròn và đường thẳng:**
- Phương trình đường tròn: \((x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 100\).
- Thay \(y = 0\) vào phương trình:
\[
x^2 + (0 - 3)^2 = 100 \implies x^2 + 9 = 100 \implies x^2 = 91 \implies x = \pm \sqrt{91}.
\]
- Vậy hai giao điểm B và C có tọa độ:
- \(B(\sqrt{91}, 0)\)
- \(C(-\sqrt{91}, 0)\)

3. **Tính độ dài BC:**
- Độ dài BC:
\[
BC = |x_C - x_B| = |-\sqrt{91} - \sqrt{91}| = 2\sqrt{91}.
\]

Như vậy, đáp án cho bài toán là:
- Đường thẳng xy có hai giao điểm với đường tròn (A).
- Độ dài BC là \(2\sqrt{91}\) cm.