Cho \( M = \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^4} + \frac{1}{7^6} + \ldots + \frac{1}{7^{98}} + \frac{1}{7^{100}}. \) Chúng mình rằng \( M < \frac{1}{50} \)

Để giải bài toán này, ta nhận thấy rằng \( M \) là một chuỗi cấp số nhân. Ta có thể viết lại \( M \) như sau:

\[
M = \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{7^{2k}}
\]

Chuỗi này bắt đầu từ \( k=1 \) cho đến \( k=50 \) với \( a = \frac{1}{7^2} \) và công bội \( r = \frac{1}{7^2} \).

Sử dụng công thức tổng của chuỗi cấp số nhân:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong trường hợp này:

- \( a = \frac{1}{7^2} \)
- \( r = \frac{1}{7^2} \)
- \( n = 50 \)

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

\[
M = \frac{1/7^2 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{7^2}\right)^{50}\right)}{1 - \frac{1}{7^2}}
\]

Tính toán từng phần:

1. Tính \( 1 - r \):

\[
1 - \frac{1}{7^2} = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}
\]

2. Tính \( r^n \):

\[
\left(\frac{1}{7^2}\right)^{50} = \frac{1}{7^{100}}
\]

3. Giá trị của \( M \):

\[
M = \frac{\frac{1}{7^2} \cdot \left(1 - \frac{1}{7^{100}}\right)}{\frac{48}{49}} = \frac{49}{48 \cdot 49} \cdot \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{7^{100}}\right)
\]

Khi tính toán \( M \):

\[
M \approx \frac{49}{48 \cdot 49} = \frac{1}{48}
\]

Cuối cùng, để so sánh với \( \frac{1}{50} \):

\[
\frac{1}{48} < \frac{1}{50}
\]

Kết luận:

\[
M < \frac{1}{50}
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng \( M < \frac{1}{50} \).