Để thực hiện các phép tính trong bài này, ta sẽ làm từng phần một:

### a)
\[
\left( x^3y + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}xy \right) \cdot 12xy
\]

Trước tiên, tính từng hạng tử:
1. \( x^3y \cdot 12xy = 12x^4y^2 \)
2. \( \frac{1}{2}x^2 \cdot 12xy = 6x^3y \)
3. \( -\frac{1}{3}xy \cdot 12xy = -4xy^2 \)

Kết quả là:
\[
12x^4y^2 + 6x^3y - 4xy^2
\]

### b)
\[
(6x^4y - 4x^3y^3 + 5x^2y^2) \cdot 2x^2y
\]

Tính từng hạng tử:
1. \( 6x^4y \cdot 2x^2y = 12x^6y^2 \)
2. \( -4x^3y^3 \cdot 2x^2y = -8x^5y^4 \)
3. \( 5x^2y^2 \cdot 2x^2y = 10x^4y^3 \)

Kết quả là:
\[
12x^6y^2 - 8x^5y^4 + 10x^4y^3
\]

### c)
\[
(2x + y)^2 + (x - 2y)(x + 2y) - 4xy
\]

1. Tính \((2x + y)^2\):
\[
(2x + y)(2x + y) = 4x^2 + 4xy + y^2
\]

2. Tính \((x - 2y)(x + 2y)\) (hình thức phân tích):
\[
x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2
\]

3. Bây giờ thay vào biểu thức:
\[
(4x^2 + 4xy + y^2) + (x^2 - 4y^2) - 4xy
\]

Kết hợp lại:
\[
4x^2 + 4xy + y^2 + x^2 - 4y^2 - 4xy = 5x^2 - 3y^2
\]

### Kết quả cuối cùng:
- a) \( 12x^4y^2 + 6x^3y - 4xy^2 \)
- b) \( 12x^6y^2 - 8x^5y^4 + 10x^4y^3 \)
- c) \( 5x^2 - 3y^2 \)