Chứng minh rằng 2x^2 + y^2 - xy - 3x - 7 + 2 ≥ 0

Chúng ta sẽ chứng minh rằng bất phương trình

\[ 2x^2 + y^2 - xy - 3x - 7 + 2 \geq 0 \]

có thể được viết lại là

\[ 2x^2 + y^2 - xy - 3x - 5 \geq 0 \]

Ta sẽ xem xét biểu thức này như là một hàm bậc hai theo biến \( y \):

\[
f(y) = y^2 - xy + (2x^2 - 3x - 5)
\]

Hàm bậc hai theo \( y \) có dạng

\[
f(y) = ay^2 + by + c
\]

với \( a = 1, b = -x, c = 2x^2 - 3x - 5 \). Để hàm này luôn không âm, ta cần kiểm tra 2 điều kiện:

1. **Đầu hệ số của hàm bậc hai \( a \) phải dương**: Ở đây \( a = 1 > 0 \).

2. **Định thức của hàm bậc hai không dương** (để hàm này có nghiệm duy nhất hoặc không có nghiệm dương):

\[
D = b^2 - 4ac = (-x)^2 - 4(1)(2x^2 - 3x - 5)
\]

Tính toán \( D \):

\[
D = x^2 - 8x^2 + 12x + 20 = -7x^2 + 12x + 20
\]

Chúng ta cần \( D \leq 0 \) để \( f(y) \) không có nghiệm dương. Giải bất phương trình \( -7x^2 + 12x + 20 \leq 0 \).

Giải phương trình bậc 2:

\[
7x^2 - 12x - 20 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-20)}}{2 \cdot 7} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 560}}{14} = \frac{12 \pm \sqrt{704}}{14}
\]

Tính \( \sqrt{704} = 8\sqrt{11} \):

\[
x = \frac{12 \pm 8\sqrt{11}}{14} = \frac{6 \pm 4\sqrt{11}}{7}
\]

Phương trình có 2 nghiệm là:

\[
x_1 = \frac{6 - 4\sqrt{11}}{7}, \quad x_2 = \frac{6 + 4\sqrt{11}}{7}
\]

Bất phương trình \( -7x^2 + 12x + 20 \) sẽ không dương giữa 2 nghiệm này.

Cuối cùng, hàm \( 2x^2 + y^2 - xy - 3x - 5 \geq 0 \) sẽ được thoả mãn với mọi \( x \) trong khoảng

\[
\left[\frac{6 - 4\sqrt{11}}{7}, \frac{6 + 4\sqrt{11}}{7}\right]
\]

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng biểu thức ban đầu không âm với mọi giá trị của \( y \). Do đó, bất phương trình được chứng minh là:

\[ 2x^2 + y^2 - xy - 3x - 7 + 2 \geq 0 \]

có nghiệm.