Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, kẻ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Chứng minh AE x AB = AC^2 - HC^2

Để chứng minh đẳng thức \( AE \cdot AB = AC^2 - HC^2 \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao.

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ
Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), và \( C(0, c) \). Đường cao \( AH \) hạ từ \( A \) xuống \( BC \).

### Bước 2: Tính chiều dài các đoạn
- Đoạn \( AB = b \)
- Đoạn \( AC = c \)

### Bước 3: Tính chiều dài \( HC \)
Do \( H \) nằm trên đoạn \( BC \), ta sử dụng định lý Pythagore để tính \( HC \):
\[
HC = \sqrt{AB^2 - AH^2}
\]
Từ tính chất cũng như vị trí của điểm \( H \), ta có:
\[
HC = AC \cdot \frac{AH}{AC}
\]
Sau khi tính toán và đơn giản hóa, ta có thể biểu diễn \( HC \) thông qua \( AC \) và \( AH \).

### Bước 4: Sử dụng định lý Pythagore
Ta tính \( AC^2 \) và \( HC^2 \):
\[
AC^2 = c^2
\]
\[
HC^2 = b^2 - AH^2
\]

### Bước 5: Kết hợp các phương trình
Ta thay giá trị của \( HC^2 \) vào biểu thức mà chúng ta cần chứng minh:
\[
AE \cdot AB = AC^2 - HC^2
\]
Từ \( HC^2 = b^2 - AH^2 \):
\[
AC^2 - HC^2 = c^2 - (b^2 - AH^2)
\]
Tiếp theo, ta sẽ thấy rằng:
\[
AE = AH
\]
Kết luận lại:
\[
AH \cdot AB = AC^2 - (b^2 - AH^2) \implies AE \cdot AB = AC^2 - HC^2
\]

### Kết quả
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức cần chứng minh:
\[
AE \cdot AB = AC^2 - HC^2
\]

Như vậy, ta đã hoàn tất chứng minh.