Giải phương trình khi m = 3. Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

1) **Giải phương trình: \(x^4 - 2m \cdot x^2 + (m^2 - 1) = 0\)**

### a) Khi \(m = 3\):
Thay \(m = 3\) vào phương trình:

\[
x^4 - 2 \cdot 3 \cdot x^2 + (3^2 - 1) = 0
\]

Điều này trở thành:

\[
x^4 - 6x^2 + 8 = 0
\]

Đặt \(y = x^2\). Phương trình trở thành:

\[
y^2 - 6y + 8 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}
\]

Từ đó, ta có hai nghiệm:

\[
y_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{4}{2} = 2
\]

Chuyển đổi ngược về giá trị của \(x\):

- Từ \(y_1 = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)
- Từ \(y_2 = 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\)

Vậy, các nghiệm của phương trình là:

\[
x = 2, -2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}
\]

### b) Tìm \(m\) để phương trình có ba nghiệm phân biệt:
Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi phương trình bậc hai tương đương có nghiệm phân biệt.

Ta viết lại phương trình:

\[
x^4 - 2m \cdot x^2 + (m^2 - 1) = 0
\]

Đặt \(y = x^2\):

\[
y^2 - 2m y + (m^2 - 1) = 0
\]

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:

\[
\Delta = (2m)^2 - 4(m^2 - 1) > 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
4m^2 - 4(m^2 - 1) > 0 \Rightarrow 4m^2 - 4m^2 + 4 > 0 \Rightarrow 4 > 0
\]

Điều này luôn đúng với mọi \(m\). Vậy \(m\) phải chọn sao cho nghiệm không trùng nhau:

- Cho \(y_1 \neq y_2\) (tức là \(m^2 - 1 \neq 0\)), thì \(m \neq \pm 1\).

2) **Cho (P): \(y = \frac{1}{2} x^2\) và đường thẳng \(d: y = x - m + 1\)**

Để tìm \(m\) sao cho đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, ta đặt phương trình của chúng bằng nhau:

\[
\frac{1}{2} x^2 = x - m + 1
\]

Biến đổi nó thành:

\[
\frac{1}{2} x^2 - x + (m - 1) = 0 \quad \text{(1)}
\]

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, yêu cầu điều kiện:

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (m - 1) > 0
\]

Tính toán điều kiện:

\[
1 - 2(m - 1) > 0 \Rightarrow 1 - 2m + 2 > 0 \Rightarrow 3 - 2m > 0 \Rightarrow m < \frac{3}{2}
\]

Và ta có điều kiện thứ hai từ yêu cầu \(y_1 + y_2 = 4(x_1 + x_2)\).

Sử dụng công thức tổng nghiệm và tích nghiệm của phương trình bậc hai:

- Tổng nghiệm: \(x_1 + x_2 = 2\)
- Tích nghiệm: \(x_1 x_2 = m - 1\)

Vậy, có:

\[
y_1 + y_2 = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) = \frac{1}{2}((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) = \frac{1}{2}(4 - 2(m - 1)) = 2 - (m - 1) = 3 - m
\]

Áp dụng:

\[
3 - m = 4 \cdot 2 \Rightarrow 3 - m = 8 \Rightarrow m = -5
\]

Vậy nghiệm cuối cùng là:

- \(m < \frac{3}{2}\) và \(m = -5 \Rightarrow -5 < \frac{3}{2}\), nghĩa là \(m = -5\) thỏa mãn điều kiện.
- Một trong hai hoành độ giao điểm phải lớn hơn 1, áp dụng từ điều kiện đầu vào.

Vậy đáp án của bài toán là \(m = -5\).