Cho tam giác ABC có A = 90 độ có BC = 10 cm, sin C = 0.6

Để giải bài toán này, ta dùng tính chất của tam giác vuông và định lý sin.

### Bước 1: Tính cạnh AC và AB.

Theo định nghĩa sin trong tam giác vuông:

\[
\sin C = \frac{AC}{BC}
\]

Với \( \sin C = 0.6 \) và \( BC = 10 \) cm, ta có:

\[
AC = BC \cdot \sin C = 10 \cdot 0.6 = 6 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính cạnh AB.

Sử dụng định lý Pythagoras để tính cạnh AB:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
\[
AB^2 + 6^2 = 10^2
\]
\[
AB^2 + 36 = 100
\]
\[
AB^2 = 64
\]
\[
AB = 8 \text{ cm}
\]

### Bước 3: Tính sin AOB.

Vì \( O \) là trung điểm của \( AB \), nên:

\[
AO = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}
\]

### Bước 4: Tính sin AOB.

Theo định nghĩa sin cho góc \( AOB \):

\[
\sin AOB = \frac{h}{AB}
\]

Trong đó \( h \) là chiều cao từ điểm O đến cạnh BC. Từ tam giác \( AOC \):

\[
\tan C = \frac{AC}{AO} = \frac{6}{4} \Rightarrow h = AO \cdot \tan C
\]

Ta có:

1. Tính \( \tan C \):
- Với \( \sin C = 0.6 \), ta tính \( \cos C \) bằng cách sử dụng:
\[
\cos^2 C + \sin^2 C = 1
\]
- Để tìm \( \cos C \):
\[
\cos^2 C = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \Rightarrow \cos C = 0.8
\]
- Do đó:
\[
\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75
\]

2. Tính chiều cao \( h \):
\[
h = AO \cdot \tan C = 4 \cdot 0.75 = 3 \text{ cm}
\]

3. Cuối cùng, tính \( \sin AOB \):
\[
\sin AOB = \frac{h}{AB} = \frac{3}{8}
\]

### Bước 5: Lựa chọn đáp án.

Bây giờ ta tính \( \sin AOB \) dưới dạng phân số:

\[
\sin AOB = \frac{3 \cdot 65}{8 \cdot 65} = \frac{195}{520} = \frac{39}{104}
\]

Theo lựa chọn đáp án không có chính xác, ta xem đáp án gần đúng.

Dựa vào các lựa chọn A, B, C, D trong bài toán, chúng ta không thể chỉ ra chính xác giá trị \( \sin AOB \) từ các đáp án đó.

Tuy nhiên, cách giải và quy trình thực hiện trên đây là chính xác để tính giá trị \( \sin AOB \) dựa trên các dữ liệu đã cho.