Để tính biểu thức \(\frac{5}{13} \cdot \frac{7}{19} + \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{19} + 2024^0\), ta thực hiện từng phần một như sau:

1. **Tính \(2024^0\)**:
\[
2024^0 = 1
\]

2. **Tính hai thành phần \(\frac{5}{13} \cdot \frac{7}{19}\) và \(\frac{5}{13} \cdot \frac{12}{19}\)**:
- Tính \(\frac{5 \cdot 7}{13 \cdot 19}\):
\[
\frac{5 \cdot 7}{13 \cdot 19} = \frac{35}{247}
\]
- Tính \(\frac{5 \cdot 12}{13 \cdot 19}\):
\[
\frac{5 \cdot 12}{13 \cdot 19} = \frac{60}{247}
\]

3. **Cộng hai phân số**:
\[
\frac{35}{247} + \frac{60}{247} = \frac{35 + 60}{247} = \frac{95}{247}
\]

4. **Cộng thêm \(2024^0\) vào tổng vừa rồi**:
\[
\frac{95}{247} + 1 = \frac{95}{247} + \frac{247}{247} = \frac{95 + 247}{247} = \frac{342}{247}
\]

Vậy kết quả của biểu thức là:
\[
\frac{342}{247}
\]