Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại K

Để chứng minh tỉ số \(\frac{BH}{AH} = \frac{CQ}{AQ}\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và tỉ lệ tỉ số đoạn thẳng.

1. **Chọn hệ tọa độ:** Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với các đỉnh có tọa độ: \(A(0,0)\), \(B(b,0)\), \(C(0,c)\).

2. **Tìm tọa độ các điểm:**
- M là trung điểm của \(BC\), nên tọa độ của \(M\) là:
\[
M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
- N là trung điểm của \(AC\), nên tọa độ của \(N\) là:
\[
N\left(0, \frac{c}{2}\right)
\]
- E là trung điểm của \(AB\), nên tọa độ của \(E\) là:
\[
E\left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]

3. **Xác định điểm K:** \(K\) là giao điểm của ba đường trung tuyến \(AM\), \(BN\), \(CE\). Theo định lý về giao điểm của các đường trung tuyến, \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng nối \(A\) và trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Trọng tâm \(G\) có tọa độ là:
\[
G\left(\frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)
\]
Vậy điểm \(K\) là:
\[
K\left(\frac{b}{6}, \frac{c}{6}\right)
\]

4. **Tìm điểm H và Q:**
- Giả sử đường thẳng \(x\) qua \(K\) cắt \(AB\) tại \(H\) và cắt \(AC\) tại \(Q\). Do \(BK \parallel AM\) nghĩa là \(BI\) và \(CF\) đều cùng hướng với \(AM\).

5. **Sử dụng Tỉ số chia đoạn:**
- Từ tỉ lệ đoạn thẳng do các đường song song tạo ra, ta có tỉ số:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{BK}{AM} \quad \text{và} \quad \frac{CQ}{AQ} = \frac{CK}{AM}
\]

6. **Chứng minh tương ứng:**
- Cả hai tỉ số ở trên đều bằng tỉ lệ giữa các đoạn chia đều được bởi các đường thẳng đi qua trọng tâm (do K là trọng tâm của tam giác \(ABC\)), đưa đến:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad \frac{CQ}{AQ} = \frac{1}{2}
\]

7. **Kết luận:** Xét cả hai tỉ số này bằng nhau, ta có:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{CQ}{AQ}
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được \(\frac{BH}{AH} = \frac{CQ}{AQ}\).