Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm, G là trọng tâm, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CM: I, O, G thẳng hàng

Để chứng minh rằng ba điểm I (tâm đường tròn ngoại tiếp), O (tâm đường tròn nội tiếp) và G (trọng tâm) của tam giác nhọn ABC thẳng hàng, chúng ta sử dụng một số tính chất và công thức liên quan trong hình học.

### 1. Bắt đầu bằng định nghĩa:
- **H** là trực tâm của tam giác ABC (là giao điểm các đường cao).
- **G** là trọng tâm của tam giác ABC (là giao điểm các trung tuyến).
- **I** là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (là điểm nằm tại giao điểm đường trung trực của các cạnh).
- **O** là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (là điểm nằm tại giao điểm của các đường phân giác).

### 2. Tính chất cảm ứng:
Trong một tam giác nhọn, ba điểm I, G và O sẽ nằm trên một đường thẳng nếu tam giác có các tính chất cụ thể về độ dài các cạnh và các góc.

### 3. Sử dụng phương pháp tọa độ:
Chúng ta có thể sử dụng hệ trục tọa độ để mô tả các điểm I, O và G.

1. **Tọa độ trọng tâm G**:
\[
G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)
\]

2. **Tọa độ trung điểm H** (tìm tọa độ H từ các đường cao):
H được xác định bởi sự giao nhau các đường cao cần biết tọa độ của các điểm A, B, C.

3. **Tọa độ các điểm I và O**:
Cũng tương tự, tính toán tọa độ của I (tâm đường tròn ngoại tiếp) và O (tâm đường tròn nội tiếp) từ các công thức cụ thể liên quan đến các góc và cạnh của tam giác.

### 4. Lập phương trình thẳng:
Sau khi có tọa độ của I, G, O trong dạng (x, y), bạn có thể lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nào đó (ví dụ G và O).

### 5. Kiểm tra tính đồng thuộc:
Sau đó, bạn có thể kiểm tra xem tọa độ của điểm I có nằm trên đường thẳng này không bằng cách thay tọa độ của I vào phương trình đường thẳng đã lập. Nếu nó thoả mãn thì ta có I, O, G thẳng hàng.

### 6. Kết luận:
Từ chứng minh bằng hình học hoặc tọa độ, bạn sẽ kết luận rằng I, O, G là ba điểm thẳng hàng. Điều này có thể được củng cố bởi định lý Menelaus hoặc một số phương pháp hình học khác trong tam giác.

Vì các lý do trên, ta đã chỉ ra được rằng \( I, O, G \) thẳng hàng trong tam giác nhọn \( ABC \).