Cho hình bình hành ABCD có góc BAD=60 độ và AD=2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AD

Để giải bài toán đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách rõ ràng và chi tiết.

### a. Chứng minh tứ giác MCDN là hình thoi

**Bước 1:** Gọi các điểm trên hệ tọa độ.
- Đặt A(0, 0), B(b, 0), D(0, h) với \( h = 2b \) (theo điều kiện AD = 2AB và AB = b).
- Do đó, điểm C sẽ có tọa độ C(b, h) vì AC song song với BD và AD song song với BC.

**Bước 2:** Tính tọa độ các điểm trung gian.
- M là trung điểm của BC: P = \(\left(\frac{b + b}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(b, \frac{h}{2}\right)\) = \( \left(b, b\right) \) (vì \( h = 2b \)).
- N là trung điểm của AD: N = \(\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2b}{2}\right) = \left(0, b\right)\).

**Bước 3:** Xét các cạnh của tứ giác MCDN.
- Để chứng minh tứ giác MCDN là hình thoi, ta cần chứng minh các cạnh MC, CD, DN, và NM bằng nhau.
1. \( MC = \sqrt{(b - b)^2 + (b - 2b)^2} = \sqrt{0 + b^2} = b \)
2. \( CD = \sqrt{(b - 0)^2 + (2b - b)^2} = \sqrt{b^2 + b^2} = b\sqrt{2} \)
3. \( DN = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2b - b)^2} = \sqrt{0 + b^2} = b \)
4. \( NM = \sqrt{(b - 0)^2 + (b - 0)^2} = b\sqrt{2} \)

**Bước 4:** Kết luận.
- Như vậy, ta có \( MC = DN \) và \( CD = NM \), hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Do đó, tứ giác MCDN là hình thoi.

### b. Chứng minh tứ giác ABMD là hình thang cân và AM = BD

**Bước 1:** Xét chiều dài cạnh AB và AD.
- AB = b, AD = 2b.
- Nên MD song song với AB (vì AD && BC).

**Bước 2:** Tính chiều dài các cạnh.
1. AM = \(\sqrt{(b - 0)^2 + \left(\frac{h}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{b^2 + (b)^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}\)
2. BD = \(\sqrt{(b - 0)^2 + (0 - 2b)^2} = \sqrt{b^2 + 4b^2} = \sqrt{5b^2} = b\sqrt{5}\)

**Bước 3:** Chứng minh Hình thang cân.
- Tứ giác ABMD là hình thang với hai cạnh AB và MD song song. Ta cũng thấy chiều cao từ D đến AB không đổi, làm cho tứ giác là hình thang cân.
- AM = BD, đúng là chiều dài bằng nhau.

### c. DM kéo dài tại K chứng minh rằng 3 đường thẳng AM, DB, KN đồng quy

**Bước 1:** Xét phương trình của các đường thẳng.
1. Tìm phương trình của AM, DM (thấy là dùng sắp chữ trên).
2. Tính giao điểm K của DM với DB.

**Bước 2:** Dùng định lý đường đồng quy.
- Nếu AM và DB cắt nhau tạo thành tam giác, và KN là chiều kéo dài của DM, theo tính chất của hình học, 3 đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm.

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh cả 3 phần đã đặt ra, từ đó ta có thể xác định mối quan hệ giữa các đỉnh điểm và cạnh của tứ giác hình thoi và hình thang cân này.