Đáp án

Với \(\forall m \in \mathbb{R}\), trọng tâm  có cao độ bằng 0.

Với \(m = \) -2 thì  vuông tại \(A\).

Có 2 giá trị của tham số \(m\) để \({S_{ABC}} = 7\).

Giải thích

Với \(\forall m \in \mathbb{R}\), trọng tâm  có cao độ bằng 0 .

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0; - 3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {m + 2;2 - 2m;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6m - 12; - 3m - 6;4 - 4m} \right)\)

Để  vuông tại \(A\) thì \(AB \bot AC \Leftrightarrow 2\left( {m + 2} \right) + 0\left( {2 - 2m} \right) - 3.0 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\).

\({S_{ABC}} = 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 7 \Leftrightarrow {(6m - 12)^2} + {( - 3m - 6)^2} + {(4 - 4m)^2} = {14^2}\)

\( \Leftrightarrow 61{m^2} - 140m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac}\end{array}} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của tham số \(m\) để \({S_{ABC}} = 7\).