Cho hàm số** \( y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} \) . Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của thị hàm số

Để tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định**: Hàm số không xác định tại \( x = 1 \).

2. **Tính đạo hàm**: Sử dụng quy tắc chia để tính đạo hàm.

\[
y' = \frac{(x - 1)(2x + 1) - (x^2 + x - 1)(1)}{(x - 1)^2}
\]

Đơn giản hóa biểu thức:

\[
y' = \frac{2x^2 - x - 1 - (x^2 + x - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}
\]

\[
= \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}
\]

3. **Tìm điểm cực trị**: Giải phương trình \( y' = 0 \):

\[
x(x - 2) = 0
\]

Ta được \( x = 0 \) và \( x = 2 \).

4. **Tính tọa độ của các điểm cực trị**: Tính \( y \) khi \( x = 0 \) và \( x = 2 \):

- Khi \( x = 0 \):

\[
y(0) = \frac{0^2 + 0 - 1}{0 - 1} = 1
\]

- Khi \( x = 2 \):

\[
y(2) = \frac{2^2 + 2 - 1}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5
\]

5. **Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị**:

Các điểm cực trị là \( (0, 1) \) và \( (2, 5) \). Khoảng cách giữa hai điểm này được tính bằng công thức khoảng cách Euclidean:

\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số là \( 2\sqrt{5} \).