Đáp án

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C′.ABB′A′ là \(\sqrt 5 \pi \).

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính thể tích và diện tích mặt cầu

Lời giải

Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'C,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'CA} \Rightarrow AA' = AC.{\rm{tan}}\widehat {A'CA} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(C'.ABB'A'\) cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,B'C'\)

Bán kính mặt cầu là \(R = IC' = \sqrt {I{K^2} + C'{K^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) nên diện tích mặt cầu bằng \(5\pi \).