Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm \(BC\). Cho biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Phát biểu | ĐÚNG | SAI |
Khoảng cách giữa \(A'B'\) và \(BC\) bằng \(\frac{4}\). | ||
Khoảng cách từ \(A'\) đến \({\rm{mp}}\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {14} }}{7}\). |
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Phát biểu | ĐÚNG | SAI |
Khoảng cách giữa \(A'B'\) và \(BC\) bằng \(\frac{4}\). | X | |
Khoảng cách từ \(A'\) đến \({\rm{mp}}\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {14} }}{7}\). | X |
Giải thích
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), theo giả thiết \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Vì là tam giác đều nên \(AH \bot BC\). Vậy \(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,N\) là trung điểm \(MB\). Ta có \(CM \bot AB,NH\) là đường trung bình nên \(HN//CM \Rightarrow HN \bot AB\). Mà góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {A'NH} = {60^ \circ }\).
Ta có \(HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow A'H = NH.{\rm{tan}}{60^ \circ } = \frac{4}\).
Vì \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(A'H \bot BC\), mặt khác \(A'H \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A'H \bot A'B'\)
\( \Rightarrow d\left( {A'B',BC} \right) = A'H = \frac{4}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {A'AH} \right)\), kẻ \(HK \bot AA'\) tại \(K\). Ta thấy \(HK \bot AA'\) mà \(AA'//BB' \Rightarrow HK \bot BB'\), \(HK \bot BC\) nên \(HK \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
Vì \(AA'//BB'\) nên \(d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {K;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = HK\).
Trong \({\rm{\Delta }}A'AH\) có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};A'H = \frac{4}\) nên \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{9{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{9{a^2}}}\)
\( \Rightarrow HK = \frac{{3a\sqrt 7 }}\).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |