Cho ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt tại H. Chứng minh D, H, E, C thuộc 1 đường tròn

Để chứng minh \( D, H, E, C \) thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc trong tam giác và định lý về điểm H (điểm giao của các đường cao).

Giả sử tam giác \( ABC \) nhọn, các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại điểm \( H \).

1. **Xét góc \( DHA \)**:
- Do \( AD \) là đường cao, nên \( \angle ADB = 90^\circ \).
- Từ đó ta có \( \angle DHA = 90^\circ \).

2. **Xét góc \( EHC \)**:
- Tương tự, \( BE \) cũng là đường cao, nên \( \angle ABE = 90^\circ \).
- Suy ra \( \angle EHC = 90^\circ \).

3. **Góc \( DHE \)**:
- Chúng ta có \( \angle DHE = \angle DAB + \angle ABE \) (do hai tam giác \( DAB \) và \( ABE \) có các góc phụ).
- Ta cũng có \( \angle DAB + \angle EHC = 90^\circ \) (vì \( \angle DAB + \angle ABE = 90^\circ \)).

Vì vậy, tổng của các góc \( DHA, EHC, DHE \) tạo thành 180 độ, tức là:
\[
\angle DHA + \angle EHC + \angle DHE = 180^\circ.
\]

4. **Kết luận**:
- Từ tính chất của các góc, ta có thể khẳng định rằng \( D, H, E, C \) thuộc cùng một đường tròn. Do đó, ta chứng minh được rằng \( D, H, E, C \) nằm trên một đường tròn.

Như vậy, ta đã hoàn thành bài chứng minh.