Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Chứng minh 4 điểm sau thuộc cùng đường tròn

Để chứng minh 4 điểm \( D, H, E, F \) thuộc cùng một đường tròn trong tam giác \( ABC \) nhọn với các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \), ta có thể áp dụng định lý về tứ giác nội tiếp.

**Lời giải chi tiết:**

1. **Nhận xét về các điểm:**
- \( D \): chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- \( E \): chân đường cao từ \( B \) đến \( AC \).
- \( F \): chân đường cao từ \( C \) đến \( AB \).
- \( H \): trực tâm của tam giác \( ABC \).

2. **Chứng minh:**
Để chứng minh bốn điểm \( D, H, E, F \) cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng góc \( \angle DHE + \angle DFE = 180^\circ \), hoặc tương đương.

- \( \angle DHE \) là góc giữa đường cao \( AD \) và \( BE \).
- \( \angle DFE \) là góc giữa đường cao \( CF \) và \( AD \).
- Trong tam giác \( ABC \), do tính chất của các đường cao và góc đối đỉnh, ta có:
\[
\angle DHE + \angle DFE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
\]

3. **Kết luận:**
Do đó, \( D, H, E, F \) nằm trên cùng một đường tròn theo định lý tứ giác nội tiếp, kết thúc chứng minh.