Để chứng minh rằng \( n^3 - 13n \) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \( n \), ta sẽ chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 2 và 3.

### Bước 1: Chứng minh chia hết cho 2
Ta xét \( n \) có thể là số chẵn hoặc số lẻ.

- Nếu \( n \) chẵn, thì \( n = 2k \) với \( k \) là số nguyên. Khi đó:
\[
n^3 - 13n = (2k)^3 - 13(2k) = 8k^3 - 26k = 2(4k^3 - 13k)
\]
Biểu thức này rõ ràng chia hết cho 2.

- Nếu \( n \) lẻ, thì \( n = 2k + 1 \). Khi đó:
\[
n^3 - 13n = (2k + 1)^3 - 13(2k + 1) = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) - (26k + 13)
\]
Tính tiếp:
\[
= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - 26k - 13 = 8k^3 + 12k^2 - 20k - 12
\]
Ta có:
\[
= 2(4k^3 + 6k^2 - 10k - 6)
\]
Vì thế, biểu thức này cũng chia hết cho 2.

Vậy \( n^3 - 13n \) chia hết cho 2 với mọi số nguyên \( n \).

### Bước 2: Chứng minh chia hết cho 3
Ta sẽ xét cả ba khả năng \( n \) môđun 3: \( n \equiv 0 \), \( n \equiv 1 \), và \( n \equiv 2 \).

- **Trường hợp 1**: \( n \equiv 0 \mod 3 \)
\[
n^3 - 13n \equiv 0 - 0 \equiv 0 \mod 3
\]

- **Trường hợp 2**: \( n \equiv 1 \mod 3 \)
\[
n^3 - 13n \equiv 1 - 13 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

- **Trường hợp 3**: \( n \equiv 2 \mod 3 \)
\[
n^3 - 13n \equiv 2^3 - 13(2) \equiv 8 - 26 \equiv 8 - 26 \equiv -18 \equiv 0 \mod 3
\]

### Kết luận
Vì \( n^3 - 13n \) chia hết cho 2 và 3, nên nó cũng chia hết cho \( 6 \).

Do đó, ta có:
\[
n^3 - 13n \text{ chia hết cho } 6 \text{ với mọi số nguyên } n.
\]

Chứng minh đã hoàn tất!