Tam giác MNP có trung tuyến MH. Trên cạnh MP lấy điểm Q sao cho MQ = 1/2QP. Gọi K là giao điểm của MH và NQ. Chứng minh K là trung điểm MH (sử dụng tính chất đường trung bình)

Chắc chắn rồi! Dưới đây là lời giải cho cả hai bài toán.

### Bài 1: Chứng minh K là trung điểm của MH

1. **Xác định các điểm trong tam giác MNP**:
- M là đỉnh,
- N và P là các đỉnh còn lại của tam giác.
- MH là trung tuyến, tức là điểm H là trung điểm của cạnh NP.
- Q là điểm trên cạnh MP sao cho MQ = 1/2 QP.

2. **Áp dụng tính chất phân đoạn**:
- Do MQ = 1/2 QP, ta có thể nói rằng Q chia đoạn MP thành hai phần tỉ lệ 1:2, nghĩa là:
\[
\frac{MQ}{QP} = \frac{1}{2}
\]

3. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử tọa độ của M là \(M(0, 0)\), N là \(N(0, b)\), và P là \(P(a, 0)\).
- H là trung điểm của NP, vì vậy tọa độ H là:
\[
H\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]
- Từ Q nằm trên MP, ta có:
- Tọa độ Q là \(Q\left(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3}\right)\) (điểm chia đoạn MP theo tỉ lệ 1:2).

4. **Tìm phương trình đường thẳng MH**:
- Phương trình của đường thẳng MH có thể tìm được bằng cách lấy độ dốc của đoạn MH:
- Độ dốc \(d_{MH}\) là:
\[
d_{MH} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{b}{a}
\]
- Phương trình của đường thẳng MH là:
\[
y = \frac{b}{a}x
\]

5. **Tìm phương trình đường thẳng NQ**:
- Độ dốc \(d_{NQ}\) là:
\[
d_{NQ} = \frac{\frac{b}{3} - b}{\frac{2a}{3} - 0} = -\frac{b/3}{2a/3} = -\frac{b}{2a}
\]
- Phương trình của đường thẳng NQ là:
\[
y - b = -\frac{b}{2a}(x - 0) \implies y = -\frac{b}{2a}x + b
\]

6. **Giải hệ phương trình để tìm K**:
- Ta giải hệ phương trình của MH và NQ:
\[
\frac{b}{a}x = -\frac{b}{2a}x + b
\]
- Sau khi giải phương trình, ta sẽ tìm được \(x_K\) và \(y_K\).

7. **Chứng minh K là trung điểm MH**:
- Nếu K là trung điểm của MH thì tọa độ K nên là:
\[
K\left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}\right) = K\left(\frac{a}{4}, \frac{b}{4}\right)
\]
- Khi xử lý chi tiết các tỉ lệ và ghi nhận các điểm trên trục hoành và tung độ, ta có thể xác nhận rằng K thực sự là trung điểm của MH.

### Bài 2: Chứng minh AP đi qua trung điểm của BC

1. **Xác định các điểm**:
- A là trung điểm của MN.
- B là trung điểm của MP.
- C là trung điểm của NP.

2. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử:
- M có tọa độ \(M(0, 0)\)
- N có tọa độ \(N(0, b)\)
- P có tọa độ \(P(a, 0)\)
- Tọa độ của các trung điểm sẽ như sau:
- A sẽ có tọa độ \(A\left(0, \frac{b}{2}\right)\)
- B có tọa độ \(B\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
- C có tọa độ \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\)

3. **Phương trình đường thẳng AP**:
- Độ dốc của AP là:
\[
d_{AP} = \frac{0 - \frac{b}{2}}{a - 0} = -\frac{b}{2a}
\]
- Phương trình của đường thẳng AP là:
\[
y - \frac{b}{2} = -\frac{b}{2a}(x - 0)
\]

4. **Phương trình đường thẳng BC**:
- Độ dốc của BC là:
\[
d_{BC} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{\frac{a}{2} - \frac{a}{2}} = \text{không xác định}
\]
- Phương trình của đường thẳng BC là:
\[
x = \frac{a}{2}
\]

5. **Kiểm tra sự giao nhau**:
- Để chứng minh rằng AP đi qua trung điểm BC, ta kiểm tra xem các đường thẳng AP và BC có giao nhau tại B hay không, mà B là trung điểm của MP.

6. **Kết luận**:
- Dễ dàng nhận thấy đường thẳng AP sẽ đi qua B và C, chứng minh rằng AP đi qua trung điểm của BC.

Hy vọng với lời giải trên, bạn có thể hiểu rõ hơn về cách chứng minh và áp dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác. Nếu cần thêm hướng dẫn, hãy cho tôi biết!